СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЕЙ
В дальнейших главах нам часто придется находить дифференциалы функций вида
x=f(p, т, п, G).
Для сокращения выводов обычно проще находить так называемый логарифмический дифференциал. Остановимся несколько подробнее на его свойствах.
Пусть некоторая величина X есть функция двух переменных у и — г
X=f(y, z). (6.16)
Прологарифмировав обе части равенства (6. 16):
In Х = п f(y, z), (6.17)
продифференцируем (6. 17) и найдем логарифмический дифференциал X:
с/(1п X)=d[nf(y, г)]
или
сіх __ df _ df
,, дХ. , дХ.
df= — dy + — dz,
ду dz
то уравнение (6.18) можно написать в следующем виде:
ах _дХ у dy дХ г dz
X ду X у dz X z
0 ^ v у дХ v z дХ
Введя обозначения Xv = -^—— и л =——— —
у X ду X dz
то, сопоставляя формулы (6.27) и (6.28), получим
Хи=Хуу и~Ь Xzzu,
Xv=XvyT+Xtzv. (6.29)
Пользование формулами (6.21) и (6.29) особенно удобно в тех случаях, когда все функции /, ср и являются степенными,
так как при помощи соотношений (6. 24) можно, не производя непосредственного дифференцирования, сразу написать необходимые формулы для логарифмических дифференциалов.
Следует помнить, что в общем случае показатели Ху и Xz являются сами функциями от у и г.
В виде примера разберем задачу, с которой в дальнейшем придется встретиться. Для определенного режима полета, например, для режима горизонтального полета с двигателем, работающим при постоянных оборотах, число М полета зависит от атмосферных условий, т. е.
М=/(ря. Тя),
где рн и Тн — независимые переменные. Пусть в результате эксперимента были найдены показатели Жр и Жт. Требуется найти для того же режима полета показатели Vт и VP, а также Vt и Vip.
Для подсчета показателей Vp к Vt воспользуемся формулой V = Жа = Ж V kgRTfft (6.30)
причем по условию
м=/(ря, тн).
Сопоставляя приведенные зависимости с формулами (6. 16), (6.25) и (6.29), получим
Vp=VJAp+VtTp; Vj^VMt+VtTt.
Из формулы (6. 30) следует, что
Ум=1; V т-0,5.
Так как Тн и рн мы считаем независимыми переменными, то
E*?Ll = o а Ту = — = 1
Те дрн Т„ дТЕ
Следовательно,
vp-M„,
rp = Жт -j — 0,5.
Таким же образом, воспользовавшись для V% формулой (4. 15)
и считая
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава VII
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРЕСЧЕТЕ ХАРАКТЕРИСТИК